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Auf der Themenseite Gleichungen - Einführung haben Sie die grundlegenden Techniken zum Auflösen linearer und quadratischer Gleichungen studiert. Auf dieser Seite hier sollen nun einige weitere Aspekte separat untersucht werden, die beim Lösen der folgenden Gleichungstypen auftreten:
- Bruchgleichungen
- Wurzelgleichungen
- Exponentialgleichungen
Bruchgleichungen
Bei Bruchgleichungen tritt die Lösungsvariable auch im Nenner auf. Bei der Bestimmung der Grundmenge muss deshalb sichergestellt werden, dass der Nenner nicht Null wird.
Beispiel 1
$ \begin {eqnarray} \frac{6}{x-5} \,=\,2 \quad \quad \quad G\,=\,\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\} \end{eqnarray}$ (alle reellen Zahl ohne die 5)
Weil $\,x=5\,$ nicht zur Grundmenge gehört, darf die Gleichung auf beiden Seiten mit $\,(x-5) \neq 0\,$ multipliziert werden:
$ \begin{eqnarray} \frac{6}{x-5}\,\,&=&\,\,2 \quad \quad &\left| \,\,\cdot (x-5) \right. \\6\,&=&\,2\,(x-5) \\ 6\,&=&\,2x-10\quad \quad &\left| \,\,+10 \right. \\\,16\,\,&=&\,\,2x\quad \quad &\left| \,\,\div 2 \right.\\\,x\,\,&=&\,\,2 \end{eqnarray}$
Beispiel 2
$ \begin{eqnarray} \frac{x-1}{2x+1}\,\,=\,\,\frac{3}{7} \end{eqnarray}$
Für x = –0.5 wird der Nenner 0. Deshalb lautet die Grundmenge für diese Bruchgleichung:
$ G\,\,=\,\,\mathbb{R}\backslash \left\{ -0.5 \right\} $
Die Bruchgleichung wird mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
(kgV) der beiden Nenner
\( \;\small \cdot 7\cdot (2x+1) \;\)
multipliziert:
$ \begin{eqnarray} \frac{x-1}{2x+1}\,\,&=&\,\,\frac{3}{7} \quad \quad &\left| \,\,\cdot 7 \cdot (2x+1) \right. \\7x-7\,&=&\,6x+3 \quad \quad &\left| \,\,-6x+7 \right. \\ x&=&10 \end{eqnarray}$
Beispiel 3
$\begin{eqnarray}\frac{3x+3}{2x-16}-4+\frac{2x+2}{x-8}=\frac{3x-3}{x-8} \end{eqnarray} \quad \quad \quad G=\mathbb{R}\backslash \left\{ 8 \right\}$
Für x = 8 wird der Nenner 0. Das kgV der Nenner ist 2x – 16 = 2(x – 8).
$\begin{eqnarray} \frac{3x+3}{2x-16}-4+\frac{2x+2}{x-8}&=& \frac{3x-3}{x-8} \quad &\left| \;\cdot \,(2x-16) \right. \\ 3x+3-4\cdot (2x-16)+2\cdot (2x+2)&=&2\cdot (3x-3) \quad \\ 3x+3-8x+64+4x+4&=&6x-6 \\ -x+71&=&6x-6 \quad &\left| \; -6x-71 \right. \\ -7x&=&-77 \quad &\left| \,\div (-7) \right. \\ x&=&11 \end{eqnarray}$
Wurzelgleichungen
Gleichungen, in denen Wurzelterme auftreten, werden auch als Wurzelgleichungen
bezeichnet.
Typischerweise werden Sie gelöst, indem die
beiden Seiten der Gleichung quadriert werden, um den/die
Wurzelterm(e) verschwinden zu lassen. Dabei sind aber zwei Dinge
zu beachten:
- Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine
Äquivalenzumformung!
Es können dabei Lösungen hinzukommen. Deshalb ist bei Wurzelgleichungen immer eine Kontrolle nötig, indem man die gefundenen "Lösungen" in die Anfangsgleichung einsetzt. - Eine Wurzel fällt nur dann vollständig weg, wenn sie isoliert quadriert wird. Als Teil einer Summe entstehen (gemäss den binomischen Formeln) gemischte Terme.
Beispiel 4
$ \begin{eqnarray} \sqrt{x+2} +4\,&=&\,x \end{eqnarray}$
Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Deshalb lautet die Grundmenge für diese Wurzelgleichung:
$ G\,=\,\left \{ x \in \mathbb{R} \,\left | \,x \geq -2 \right. \right\} $
Um die Wurzel wegschaffen zu können, muss sie zunächst isoliert werden:
$ \begin{eqnarray} \sqrt{x+2} +4\,&=&\,x &\left|\;-4\right. \\ \sqrt{x+2}\,&=&\,x-4 \quad &\left|\; \text{quadrieren}\right.\\ x+2 &=& {(x-4)^2}\end{eqnarray}$
Die rechte Seite kann nun gemäss der zweiten Binomischen Formel ausmultipliziert werden:
$ \begin{eqnarray} x+2&=&{x^2}-8x+16 \quad &\left|\;-x-2 \right.\\ 0&=&{x^2}-9x+14 \end{eqnarray}$
Damit ist eine quadratische Gleichung entstanden. Ihre Lösungen können mit Hilfe der quadratischen Auflösungsformel (siehe auch den Abschnitt "Quadratische Gleichungen" auf der Seite Gleichungen - Einführung) bestimmt werden:
${x_{1,2}} ={\large \frac{ 9 \pm \sqrt {81-56}}{2}} = {\large \frac{9 \pm 5}{2}} \quad \qquad {x_1}=7 \;\quad {x_2}=2 $
Setzt man die beiden Werte in die ursprüngliche Gleichung ein, so stellt man fest, dass zwar $\,{x_1}=7\,$ eine Lösung ist, dass aber $\,{x_2}=2\,$ die Gleichung nicht erfüllt:
$ \begin{eqnarray} \sqrt{7+2} +4\,&=&\,7 \quad \end{eqnarray}$ ist korrekt
$ \begin{eqnarray} \sqrt{2+2} +4\,&=&\,2 \quad \end{eqnarray}$ ist falsch!
Was ist passiert? Die letzte Gleichung vor dem Quadrieren lautete:
$ \sqrt{x+2}\,=\,x-4$
Setzt man hier für x den Wert 2 ein, so erfüllt er die Gleichung nicht:
$\sqrt{2+2}\,\neq \,2-4$
Allerdings: die beiden Seiten unterscheiden sich nur um das Vorzeichen. Durch das Quadrieren wird dieses geschluckt, und aus der "Pseudo-Lösung" $\,x=2\,$ wird nun plötzlich eine "richtige Lösung" der neuen Gleichung! Das Quadrieren hat die Lösungsmenge der Gleichung verändert. Es handelt sich also dabei um keine Äquivalenzumformung.
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ist: $L\,=\,\left\{ 7 \right\}$
Beispiel 5
$ \begin{eqnarray} \sqrt{4x+9} -2\,&=&\,\sqrt{3x-5} \end{eqnarray}$
Beide Terme unter der Wurzel dürfen nicht negativ sein. Die Bedingung $\;3x-5 \geq 0\;$ ist dabei einschränkender als $\;4x+9 \geq 0\;$; deshalb lautet die Grundmenge für diese Wurzelgleichung:
$ G\,=\,\left \{ x \in \mathbb{R} \,\left | \,x \geq \frac {5}{3} \right. \right\} $
In diesem Beispiel können nicht beide Wurzeln gleichzeitig isoliert werden. Es ist deshalb nötig, zweimal nacheinander zu quadrieren, weil beim ersten Mal nur die eine Wurzel wegfällt. Beachten Sie auch, dass die linke Seiten (als Summe!) jeweils mit Hilfe der binomischen Formel zu quadrieren sind:
$ \begin{eqnarray} \sqrt{4x+9} -2\,&=&\,\sqrt{3x-5} &\left|\;\text{quadrieren}\right. \\ 4x+9 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{4x+9} + 4\,&=&\,3x-5\quad &\left|\;-3x+5+4\,\sqrt{4x+9} \right.\\ x+18 &=& 4\,\sqrt{4x+9}&\left|\;\text{quadrieren}\right.\\ {x^2}+36x+324 &=& 64x+144&\left|\;-64x-144\right.\\{x^2}-28x+180 &=& 0\end{eqnarray}$
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind:
${x_{1,2}} ={\large \frac{ 28 \pm \sqrt {784-720}}{2}} = {\large \frac{28 \pm 8}{2}} \quad \qquad {x_1}=18 \;\quad {x_2}=10 $
Die notwendige Kontrolle zeigt, dass beide gefundenen Werte tatsächlich Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind:
$ \begin{eqnarray} \sqrt{40+9} -2\,&=&\,\sqrt{30-5} \quad \end{eqnarray}$ ist korrekt: $\; 7=7$
$ \begin{eqnarray} \sqrt{72+9} -2\,&=&\,\sqrt{54-5} \quad \end{eqnarray}$ ist korrekt: $\; 5=5$
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ist: $L\,=\,\left\{10;\,18 \right\}$
Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable im Exponenten steht.
Beispiele
${2^x}=3$
$100 \cdot {1.04^x}=200$
Für die Lösung solcher Aufgaben ist oft eine weitere Äquivalenzumformung von grossem Nutzen:
Beispiel 6
\[\begin{align} & {{10}^{x}}\,\,=\,\,1000 \\ & \log {{10}^{x}}\,\,=\,\,\log 1000 \\ & x\cdot \log 10\,\,=\,3 \\ & x\,\,=\,\,3 \end{align}\]
In der 2. Umformung wird das folgende Logarithmusgesetz angewendet: $\log {{a}^{k}}\,\,=\,\,k\cdot \log a$
Dieses Beispiel könnte einfacher gelöst werden:
$\begin{align} & {{10}^{x}}\,\,=\,\,{{10}^{3}} \\ & x\,\,=\,\,3 \end{align}$
Bei gleicher Basis müssen die beiden Exponenten gleich gross sein!
Das Logarithmusgesetz ist auch beim Lösen des folgenden Beispiels hilfreich:
Beispiel 7
Aufgaben zu Bruchgleichungen
1)
$\begin{eqnarray}\frac{z-1}{4z+2}=\frac{3}{14} \end{eqnarray}$
2)
$\begin{eqnarray}\frac{8}{x-3}=4 \end{eqnarray}$
3)
$\begin{eqnarray}\frac{9x}{25-x}=6 \end{eqnarray}$
4)
$\begin{eqnarray}\frac{2x}{x+1}+\frac{3}{2x}=2-\frac{1}{x} \end{eqnarray}$
Die letzten beiden Aufgaben führen auf quadratische
Gleichungen
(vgl. Abschnitt "Quadratische
Gleichungen" auf der Seite Gleichungen
- Einführung):
5)
$\begin{eqnarray}\frac{x+3}{x}-5=\frac{x}{x-2} \end{eqnarray}$
6)
$\begin{eqnarray}\frac{w}{2w-3}-\frac{1}{2w}=\frac{3}{4w-6} \end{eqnarray}$
Aufgaben zu Wurzelgleichungen
1)
$\begin{eqnarray} \sqrt{3x-2}=\sqrt{x+6} \end{eqnarray}$
2)
$\begin{eqnarray} 3+\sqrt{4{z^2}+3}=2z \end{eqnarray}$
Die letzten drei Aufgaben führen auf quadratische Gleichungen
(vgl. Abschnitt "Quadratische Gleichungen" auf der
Seite Gleichungen - Einführung):
3)
$\begin{eqnarray}\sqrt{13-4y}=2-y \end{eqnarray}$
4)
$\begin{eqnarray}x+2\sqrt{x}=3 \end{eqnarray}$
5)
$\begin{eqnarray}\sqrt{2x+5}-2 \,\sqrt{x-1}=1 \end{eqnarray}$
Aufgaben zu Exponentialgleichungen
1)
$ \begin{eqnarray}{{2}^{5x-7}}=8 \end{eqnarray}$
2)
$ \begin{eqnarray}{{4}^{6x-16}}=16 \end{eqnarray}$
Weitere Erklärungen finden Sie unter folgenden Adressen:
www.mathematik.net/bruchgleichungen/0-inhalt-bruchgleichungen-1.htm
www.brinkmann-du.de/mathe/gost/expgl_01.htm
Weitere Aufgaben finden Sie unter:
Übungsseite Bruchgleichungen (Kunz)
Übungsseite Wurzelgleichungen (Flütsch)
Bruchgleichungen und Wurzelgleichungen (Nibis)
Übungsseite Exponentialgleichungen (Flütsch)
Weitere Erläuterungen und Übungen zum Lösen von Exponentialgleichungen finden Sie unter:
www.mathematik.net/exp-gleich-neu/0-inhalt-exp-gleich-neu-1.htm